Question

【題目】如圖，正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E為AB中點，F為正方形BCC1B1的中心．
（1）求直線EF與平面ABCD所成角的正切值；
（2）求異面直線A1C與EF所成角的余弦值．

Answer 1

【答案】解：（1）取BC中點H，連結FH，EH，設正方體棱長為2．
∵F為BCC1B1中心，E為AB中點．
∴FH⊥平面ABCD，FH=1，EH=．
∴∠FEH為直線EF與平面ABCD所成角，且FH⊥EH．
∴tan∠FEH===．
（2）取A1C中點O，連接OF，OA，則OF∥AE，且OF=AE．
∴四邊形AEFO為平行四邊形．∴AO∥EF．
∴∠AOA1為異面直線A1C與EF所成角．
∵A1A=2，AO=A1O=．
∴△AOA1中，由余弦定理得cos∠A1OA=．

【解析】（1）取BC中點H，連結FH，EH，證明∠FEH為直線EF與平面ABCD所成角，即可得出結論；
（2）取A1C中點O，連接OF，OA，則∠AOA1為異面直線A1C與EF所成角，由余弦定理，可得結論；
【考點精析】根據題目的已知條件，利用直線與平面平行的判定和直線與平面垂直的判定的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行；一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數學思想．