Question

（本大題滿分14分）

已知函數 ，其中,b∈R且b≠0。

（1）求的單調區間；

（2）當b=1時，若方程沒有實根，求a的取值范圍；

（3）證明：，其中．

 

Answer 1

【答案】

解：（1）由題意可知：，b≠0時,

令，得，                    （1分）

    則①b>0,當時，，單調遞減；                                   

    當時，，單調遞增                                   （3分）②b<0,當時，，單調遞增；                                

    當時，，單調遞減                                   （5分）

（2）由（1）可得在處取得極小值，且沒有實根，               （7分）

則，即，解得：                                （8分）

（3）方法1：由（2）得，令，成立，

則，恒成立                                               （10分）

故

，即得證。                                                           （14分）

方法2：數學歸納法

（1）         當時，成立；

（2）         當時，成立，

當時，

同理令，，即，                （10分）

則，                          （12分）

故，

即對也成立，

綜合（1）（2）得：，恒成立。       （14分）

 

【解析】略