Question

（07年福建卷文）（本小題滿分12分）

甲、乙兩名跳高運動員一次試跳2米高度成功的概率分別為0.7、0.6，且每次試跳成功與否相互之間沒有影響，求：
 （I）甲試跳三次，第三次才能成功的概率;

(II)甲、乙兩人在第一次試跳中至少有一人成功的概率;

(III)甲、乙各試跳兩次，甲比乙的成功次數恰好多一次的概率.

Answer 1

本小題主要考查概率的基礎知識，運用數學知識解決問題的能力，以及推理與運算能力.

解析：記“甲第i次試跳成功”為事件A₁，“乙第i次試跳成功”為事件B₁.

依題意得P（A₁）＝0.7，P（B₁）＝0.6，且A₁B₁（i=1,2,3）相互獨立.

(I)“甲第三次試跳才成功”為事件A₃，且三次試跳相互獨立，

∴P（A₃）＝P（）P=0.3×0.3×0.7=0.063.

答：甲第三次試跳才成功的概率為0.063.

(II)甲、乙兩支在第一次試跳中至少有一人成功為事件C，

解法一：C＝A₁彼此互斥，

∴P（C）

         ＝

               ＝0.7×0.4+0.3×0.6+0.7×0.6

=  0.88.

解法二：P（C）＝1-＝1-0.3×0.4=0.88.

答：甲、乙兩人在第一次試跳中至少有一人成功的概率為0.88.

（III）設“甲在兩次試跳中成功i次”為事件M_i（i=0,1,2）,

“乙在兩次試跳中成功i次”為事件N_i(i=0,1,2),

∵事件“甲、乙各試跳兩次，甲比乙的成功次數恰好多一次”可表示為M₁N₀+M₂N₁,且M₁N₀、M₂N₁為互斥事件.

∴所求的概率為

＝×0.7×0.3×0.4²+0.7²××0.6×0.4

=0.0672+0.2352

=0.3024.

答：甲、乙每人試跳兩次，甲比乙的成功次數恰好多一次的概率為0.3024.