Question

【題目】對任意，給定區間，設函數表示實數與所屬的給定區間內唯一整數之差的絕對值.

（1）當時，求出的解析式；時，寫出絕對值符號表示的解析式；

（2）求，，判斷函數的奇偶性，并證明你的結論；

（3）當時，求方程的實根.（要求說明理由，）

Answer 1

【答案】（1），；，；（2）是偶函數，證明見解析；（3）實根為.

【解析】

（1）可知區間中唯一整數為，根據定義可得出函數在區間上的解析式，同理可得出函數在區間上的解析式；

（2）根據題中定義求得和的值，可得出，然后利用函數奇偶性的定義證明函數為偶函數，即可得出結論；

（3）要求方程的根，即求的根，對分、、三種情況討論，去絕對值符號，即可求得方程根的個數.

（1）當時，中唯一整數為，

由定義知，.

當時，在中唯一整數為，

由定義知，；

（2），，，，下面判斷是偶函數.

對任何，存在唯一，使得，則，

由可以得出，

即，

由（1）的結論，，即函數是偶函數；

（3），即，其中.

當時，，所以方程沒有大于的實根；

容易驗證為方程的實根.

當時對應的，方程變為，

設，

則，

故當時，函數為減函數，，

方程沒有滿足的實根；

當時，對應的，方程變為，

設，明顯函數為減函數.

，

，則，所以，，

所以方程沒有滿足的實根.

綜上，若時，方程有且僅有一個實數根，實根為.