Question

已知橢圓C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）與雙曲線C₂：x²-

y2

4

=1有公共的焦點，C₂的一條漸近線與以C₁的長軸為直徑的圓相交于A，B兩點．若C₁恰好將線段AB三等分，則（　　）

• A、a²=

  13

  2

• B、a²=3
• C、^_b2=

  1

  2

• D、^_b2=2

Answer 1

分析：先由雙曲線方程確定一條漸近線方程為y=2x，根據對稱性易知AB為圓的直徑且AB=2a，利用橢圓與雙曲線有公共的焦點，得方程a²-b²=5；設C₁與y=2x在第一象限的交點的坐標為（x，2x），代入C₁的方程得：x2=

a2b2

b2+4a2

；對稱性知直線y=2x被C₁截得的弦長=2

5

x，根據C₁恰好將線段AB三等分得：2

5

x=

2a

3

，從而可解出a²，b²的值，故可得結論．

解答：解：由題意，C₂的焦點為（±

5

，0），一條漸近線方程為y=2x，根據對稱性易知AB為圓的直徑且AB=2a
∴C₁的半焦距c=

5

，于是得a²-b²=5   ①
設C₁與y=2x在第一象限的交點的坐標為（x，2x），代入C₁的方程得：x2=

a2b2

b2+4a2

②，
由對稱性知直線y=2x被C₁截得的弦長=2

5

x，
由題得：2

5

x=

2a

3

，所以x=

a

3 5

    ③
由②③得a²=11b²  ④
由①④得a²=5.5，b²=0.5  
故選C

點評：本題以橢圓，雙曲線為載體，考查直線與圓錐曲線的位置關系，解題思路清晰，但計算有點煩瑣，需要小心謹慎．