Question

【題目】選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為，其中為參數(shù)， ，再以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為，其中， ，直線與曲線交于兩點(diǎn).

（1）求的值；

（2）已知點(diǎn)，且，求直線的普通方程.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】試題分析：（1）先根據(jù)代入消元法將直線的參數(shù)方程化為普通方程，利用將曲線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，聯(lián)立直線方程與拋物線方程，利用韋達(dá)定理代入可得的值；（2）由直線參數(shù)方程幾何意義得，再將直線的參數(shù)方程代入拋物線C的普通方程，利用韋達(dá)定理得， ， 三個(gè)條件聯(lián)立方程組解得，即得直線的普通方程.

試題解析：（Ⅰ）直線的普通方程為，

曲線C的極坐標(biāo)方程可化為，

設(shè)， ，聯(lián)立與C的方程得： ，

∴，則，

∴.

（Ⅱ）將直線的參數(shù)方程代入拋物線C的普通方程，

得，

設(shè)交點(diǎn)對應(yīng)的參數(shù)分別為，

則， ，

由得， ，

聯(lián)立解得，又，所以.

直線的普通方程為.（或）