Question

已知橢圓短軸的一個端點為，離心率為.
（1）求橢圓的標準方程；
（2）設直線交橢圓于、兩點，若．求

Answer 1

（1）橢圓的標準方程；（2）.

試題分析：（1）由已知得，又聯(lián)立可解得，從而可求橢圓的標準方程；
（2）先設A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，把直線方程和橢圓方程聯(lián)立得到一個關(guān)于的二次方程，再利用弦長公式即可求出.
試題解析：（1）由題意可設橢圓C的標準方程為(>>0)．
由已知b＝1，所以，因為＝，∴a²＝9，b²＝1.
∴橢圓C的標準方程為＋y²＝1.                 6分
（2）設A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)．由，
得               8分
∴x₁＋x₂＝ ，x₁x₂＝，
∴|AB|＝＝＝.
∴，解得.                12分