Question

(本小題滿分14分)

已知拋物線、橢圓、雙曲線都經過點M(1，2)，它們在x軸上有共同焦點，橢圓和雙曲線的對稱軸是坐標軸，拋物線的頂點為坐標原點。

（Ⅰ）求這三條曲線方程；

（Ⅱ）若定點P(3，0)，A為拋物線上任意一點，是否存在垂直于x軸的直線l被以AP為直徑的圓截得的弦長為定值？若存在，求出l的方程；若不存在，說明理由。

Answer 1

（Ⅰ）

解析:

（Ⅰ）設拋物線的方程為

∵M(1，2)在拋物線上，∴ 即p＝2

∴拋物線方程為，焦點為(1，0)                     ………3分

∵橢圓、雙曲線與共焦點，且對稱軸為坐標軸，分別設其方程為

，

∵橢圓、雙曲線都經過點M(1，2)

∴解得

∴橢圓與雙曲線的方程分別為、

                                                      ………7分

（Ⅱ）設為拋物線上任意一點，則

又P(3，0)，以AP為直徑的圓的半徑

圓心B為AP中點，∴B，設直線l：x＝n，則圓心B到l的距離d=

則弦長u＝２＝

        ＝

當n＝２時，u為定值，∴滿足題意的直線l存在，其方程為x＝２