Question

（09安徽）設(shè)數(shù)列滿足其中為實(shí)數(shù)，且
（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式
（Ⅱ）設(shè)，,求數(shù)列的前項(xiàng)和；
（Ⅲ）若對(duì)任意成立，證明

Answer 1

,

19解 (1) 方法一：

當(dāng)時(shí)，是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列。
，即 。當(dāng)時(shí)，仍滿足上式。
數(shù)列的通項(xiàng)公式為 。
方法二
由題設(shè)得：當(dāng)時(shí)，


時(shí)，也滿足上式。
數(shù)列的通項(xiàng)公式為 。
(2)   由（1）得



 
(3)由（1）知
若，則
  
由對(duì)任意成立，知。下面證，用反證法
方法一：假設(shè)，由函數(shù)的函數(shù)圖象知，當(dāng)趨于無(wú)窮大時(shí)，趨于無(wú)窮大
不能對(duì)恒成立，導(dǎo)致矛盾。。

方法二：假設(shè)，，
即  恒成立   （＊）
為常數(shù)， （＊）式對(duì)不能恒成立，導(dǎo)致矛盾，