Question

（2013•鷹潭一模）一個空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體外接球的表面積為

64π

．

Answer 1

分析：根據(jù)三視圖的定義與性質(zhì)，可得該幾何體是底面邊長為6，且高等于4的正三棱柱．因此，外接球球心在上、下底面中心連線段的中點(diǎn)．根據(jù)正三角形的性質(zhì)，算出AH=

3

3

AB=2

3

，Rt△AHO中利用勾股定理算出AO=4，得外接球半徑R=4，再用球的表面積公式，即可求出該幾何體外接球的表面積．

解答：解：根據(jù)題意，得該幾何體是底面邊長為6，且高等于4的正三棱柱
設(shè)正三棱柱為如圖的三棱柱ABC-DEF，
可得該幾何體外接球的外接球球心為上、下底面中心的連線段的中點(diǎn)
設(shè)外接球球心為0點(diǎn)，上底面中心為H，（H為△ABC中線AM的三等分點(diǎn)）
∵正△ABC邊長為6，
∴AM=

3

2

AB=3

3

，可得AH=

2

3

AM=2

3

Rt△AHO中，HO=

1

2

AD=2，
∴AO=

AH2+HO2

=4，即外接球半徑R=4
因此，該幾何體外接球的表面積為S=4πR²=64π
故答案為：64π

點(diǎn)評：本題將一個多面體的三視圖還原，并求它的外接球的表面積，著重考查了三視圖的定義與性質(zhì)、正三棱柱的外接球等知識，屬于中檔題．