Question

【題目】已知函數f（x）的定義域為R，且f（2）=2，又函數f（x）的導函數y=f′（x）的圖象如圖所示，若兩個正數a、b滿足f（2a+b）＜2，則 的取值范圍是（ ）
A.（ ，2）
B.（﹣∞， ）∪（2，+∞）
C.（2，+∞）
D.（﹣∞， ）

Answer 1

【答案】A
【解析】解：由圖可知，當x＞0時，導函數f'（x）＞0，原函數單調遞增， ∵兩正數a，b滿足f（2a+b）＜2，
又由f（2）=2，即f（2a+b）＜2，
即2a+b＜2，
又由a＞0．b＞0；
故a，b所對應的平面區域如下圖所示：

表示動點（a，b）與定點（﹣2，﹣2）連線的斜率，
當直線過（1，0）點時， = ，
當直線過（0，2）點時， =2，
故 ∈（ ，2），
故選：A．
【考點精析】本題主要考查了利用導數研究函數的單調性的相關知識點，需要掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減才能正確解答此題．