Question

【題目】已知：f（x）=2 cos2x+sin2x﹣ +1（x∈R）．求：
（1）f（x）的最小正周期；
（2）f（x）的單調增區間；
（3）若x∈[﹣ ， ]時，求f（x）的值域．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）=sin2x+ （2cos2x﹣1）+1

=sin2x+ cos2x+1

=2sin（2x+ ）+1）

函數f（x）的最小正周期為T= =π

（2）解：由2kπ﹣ ≤2x+ ≤2kπ+

得2kπ﹣ ≤2x≤2kπ+

∴kπ﹣ ≤x≤kπ+ ，k∈Z

函數f（x）的單調增區間為[kπ﹣ ，kπ+ ]，k∈Z

（3）解：因為x∈[﹣ ， ]，∴2x+ ∈[﹣ ， ]，

∴sin（2x+ ）∈[- ，1]，∴f（x）∈[0，3]

【解析】（1）利用二倍角公式，平方關系，兩角和的正弦函數，化簡函數y=2 cos2x+sin2x﹣ +1，為一個角的一個三角函數的形式，然后直接求出最小正周期；（2）將2x+ 看成整體在[2kπ﹣ ，2kπ+ ]上單調遞增，然后求出x的取值范圍，從而求出函數的單調增區間．（3）根據x∈[﹣ ， ]，求出2x+ 的范圍，從而求出sin（2x+ ）的取值范圍，從而求出f（x）的值域．
【考點精析】通過靈活運用兩角和與差的正弦公式和正弦函數的單調性，掌握兩角和與差的正弦公式：；正弦函數的單調性：在上是增函數；在上是減函數即可以解答此題．