Question

已知兩條直線l₁：mx+8y+n=0和l₂：2x+my-1=0，試分別確定m、n的值，使：
（1）l₁與l₂相交于一點P（m，1）；
（2）l₁∥l₂且l₁過點（3，-1）；
（3）l₁⊥l₂且l₁在y軸上的截距為-1．

Answer 1

分析：（1）由于l₁與l₂相交于一點P（m，1），把點P（m，1）代入l₁，l₂的方程得m²+8+n=0，2m+m-1=0，聯立解得即可．
（2）由于l₁∥l₂且l₁過點（3，-1），根據平行線的斜率相等及點適合直線l₁的方程可得

- m 8 =- 2 m 3m-8+n=0

，解得即可；
（3）由l₁⊥l₂且l₁在y軸上的截距為-1，當m=0時，l₁的方程化為8y+n=0，l₂的方程化為2x-1=0．可得-8+n=0，解得即可．而m≠0時，直線l₁與l₂不垂直．

解答：解：（1）由于l₁與l₂相交于一點P（m，1），把點P（m，1）代入l₁，l₂的方程得m²+8+n=0，2m+m-1=0，聯立解得m=

1

3

，n=-

73

9

．
（2）∵l₁∥l₂且l₁過點（3，-1），∴

- m 8 =- 2 m 3m-8+n=0

，解得

m=4 n=-4

或

m=-4 n=20

（3）由l₁⊥l₂且l₁在y軸上的截距為-1，當m=0時，l₁的方程化為8y+n=0，l₂的方程化為2x-1=0．
∴-8+n=0，解得n=8．∴m=0，n=8．
而m≠0時，直線l₁與l₂不垂直．
綜上可知：m=0，n=8．

點評：本題考查了直線的平行、垂直與斜率的關系、直線相交問題，屬于中檔題．