Question

已知函數
（1）當時，求函數在上的極值；
（2）證明：當時，；
（3）證明： .

Answer 1

（1）；（2）證明過程詳見解析；（3）證明過程詳見解析.

試題分析：本題主要考查導數的運算，利用導數研究函數的單調性、極值和最值、不等式等基礎知識，考查函數思想，考查綜合分析和解決問題的能力.第一問，將代入，得到解析式，對它求導，列出表格，通過單調性，判斷極值；第二問，證明不等式轉化為求函數的最小值大于0；第三問，利用第二問的結論，令，利用放縮法得到，再利用對數的性質和裂項相消法求和，得到所證不等式.
試題解析：（1）當時，
          1分
變化如下表

	+	0		0	+
	↗	極大值	↘	極小值	↗

，       4分
（2）令 
則                 6分
∴在上為增函數。       8分
                                     9分
（3）由（2）知                       10分
令得，     12分

     13分
                       14分