Question

已知函數f（x）=log_a（1+x）-log_a（1-x）（a＞0且a≠1）．
（1）討論f（x）的奇偶性與單調性；
（2）若不等式|f（x）|＜2的解集為{x|-

1

2

＜x＜

1

2

}，求a的值；
（3）設f（x）的反函數為f^-1（x），若關于x的不等式f^-1（x）＜m（m∈R）有解，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由對數的意義可求得其定義域為（-1，1），利用奇函數的定義即可判斷f（x）為奇函數；
（2）將f（x）=loga

1+x

1-x

化簡為：f（x）=loga(-1-

2

x-1

)，對底數a分類討論，利用復合函數“同增異減”的原理即可判斷其單調性；
（3）利用互為反函數的兩個函數定義域與值域互換的性質（已知原函數f（x）的定義域即為其反函數f^-1（x）的值域）即可求m的取值范圍．

解答：解：（1）∵

1+x＞0 1-x＞0

，
∴f（x）定義域為x∈（-1，1）；
又f（-x）=log_a（1-x）-log_a（1+x）=-[log_a（1+x）-log_a（1-x）]=-f（x），
∴f（x）為奇函數；
∵f（x）=loga

1+x

1-x

=loga

2-(1-x)

1-x

=loga(-1-

2

x-1

)，又g（x）=-

2

x-1

-1在（-1，1）上單調遞增，由復合函數“同增異減”的原理得：
①當a＞1時，在定義域內為增函數；
②當0＜a＜1時，在定義域內為減函數；
（2）①當a＞1時，∵f（x）在定義域內為增函數且為奇函數，
∴命題?f（

1

2

）=2，得log_a3=2，
∴a=

3

；
②當0＜a＜1時，∵f（x）在定義域內為減函數且為奇函數，
∴命題?f（

1

2

）=2，得loga

1

3

=2，
∴a=

3

3

；
（3）∵f^-1（x）的值域為（-1，1），
∴關于x的不等式f^-1（x）＜m（m∈R）有解的充要條件是m＞-1．
∴m＞-1．

點評：本題考查對數函數圖象與性質的綜合應用，考查奇偶性與單調性的綜合，突出考查反函數的性質及其應用，考查化歸思想、分類討論思想與方程思想的綜合運用，屬于難題．