Question

已知兩點F₁（-2，0），F₂（2，0），曲線C₁上的動點P滿足|PF1|+|PF2|=

2

|F1F2|．
（1）求曲線C₁的方程；
（2）設曲線C₂的方程為|x|+|y|=m（m＞0），當C₁和C₂有四個不同的交點時，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用橢圓的定義可得2a=4

2

可求a，由c=2及b²=a²-c²可求b，進而可求解橢圓方程
（2）分類討論，化簡已知方程可得，曲線C₂是以（m，0），（0，-m），（-m，0），（0，-m）四個點為頂點的正方形，若使C₁和C₂有四個不同的交點，且曲線C₁，C₂都是關于x軸，y軸對稱的曲線，則可得曲線x+y=m（0＜x≤m）與C₁有且僅有一個交點，即方程組

x+y=m(0＜x≤m) x2 8 + y2 4 =1

有且僅有一組解，即關于x的方程3x²-4mx+2m²-8=0在區間（0，m]上有且僅有一個實數根，根據二次函數的性質分類進行求解

解答：解：（1）∵點F₁（-2，0），F₂（2，0）
由題意|PF1|+|PF2|=

2

|F1F2|=4

2

，且|F1F2|=4＜4

2

∴曲線C₁是以F₁（2，0），F₂（-2，0）為焦點，長軸為4

2

的橢圓
設橢圓C₁的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）
∵2a=4

2

，2c=4，b²=a²-c²=4
∴曲線C₁的方程為

x2

8

+

y2

4

=1
（2）∵曲線C₂的方程為|x|+|y|=m（m＞0）
∴當x＞0，y≥0時，曲線C₂的方程為x+y=m（m＞0）
當x≤0，y＞0，曲線C₂的方程為-x+y=m（m＞0）
當x＜0，y≤0，曲線C₂的方程為-x-y=m（m＞0）
當x≥0，y＜0，曲線C₂的方程為x-y=m（m＞0）
∴曲線C₂是以（m，0），（0，-m），（-m，0），（0，-m）四個點為頂點的正方形
∵C₁和C₂有四個不同的交點，且曲線C₁，C₂都是關于x軸，y軸對稱的曲線
∴曲線x+y=m（0＜x≤m）與C₁有且僅有一個交點
∴

x+y=m(0＜x≤m) x2 8 + y2 4 =1

有且僅有一組解
即關于x的方程3x²-4mx+2m²-8=0在區間（0，m]上有且僅有一個實數根x₀
設f（x）=3x²-4mx+2m²-8
①

△=16m2-12(2m2-8)=0 0＜x0≤m

，解得m=2

3

②

m＞0 f(0)=2m2-8＞0 f(m)=m2-8＜0

，解得2＜m＜2

2

綜上得m=2

3

或2＜m＜2

2

點評：本題主要考查了由橢圓的定義求解橢圓的方程及直線與曲線在閉區間上的交點個數的應用，注意分類討論思想的應用