Question

【題目】已知函數在上是減函數，在上是增函數若函數，利用上述性質，

Ⅰ當時，求的單調遞增區間只需判定單調區間，不需要證明；

Ⅱ設在區間上最大值為，求的解析式；

Ⅲ若方程恰有四解，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）單調遞增區間為，（Ⅱ）（Ⅲ）

【解析】

（I）當時，將函數寫為分段函數的形式，結合的單調性，寫出函數的單調遞增區間.（II）對分成三種情況，結合函數的解析式，討論函數的最大值，由此求得的解析式.（III）分成兩種情況，去掉的絕對值，根據解的個數，求得的取值范圍.

解：（Ⅰ）當時，

的單調遞增區間為，

（Ⅱ）∵

①當時，，

②當時，，，

③當時，

，

，，

當，即時，

當，即時，

綜上所述

（Ⅲ）時，方程為，且，其中.

若，即時，由于為增函數，故有且只有兩正解.

若，即時，由于為增函數，故無解.

所以時，方程有且只有兩正解.

時，方程為或，只需，可使有且只有兩解.

綜上所述時，恰有四解