Question

在△ABC中，，點B是橢圓的上頂點，l是雙曲線x²-y²=-2位于x軸下方的準(zhǔn)線，當(dāng)AC在直線l上運動時．
（1）求△ABC外接圓的圓心P的軌跡E的方程；
（2）過定點F（0，）作互相垂直的直線l₁、l₂，分別交軌跡E于點M、N和點R、Q．求四邊形MRNQ的面積的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求出B點坐標(biāo)以及直線l的方程，再根據(jù)△ABC外接圓的圓心時三邊垂直平分線的交點，也即AC，AB垂直平分線，再利用垂直平分線的性質(zhì)，用消參法求出P的軌跡E的方程．
（2）先設(shè)直線l₁、l₂，其中一條的方程．因為兩直線互相垂直，所以另一條直線方程也可知，在分別于軌跡E的方程聯(lián)立，求|MN|，|RQ|，再帶著參數(shù)求四邊形MRNQ的面積，用均值不等式求最小值．
解答：解：（1）由橢圓方程=1及雙曲線方程x²-y²=-2可得點B（0，2），直線l的方程是y=-1．
∵AC=2，且AC在直線l上運動．
可設(shè)，則AC的垂直平分線方程為x=m①
AB的垂直平分線方程為y-②
∵P是△ABC的外接圓圓心，∴點P的坐標(biāo)（x，y）滿足方程①和②．
由①和②聯(lián)立消去m得：y=，即y=．
故圓心P的軌跡E的方程為x²=6y
（2）如圖，直線l₁和l₂的斜率存在且不為零，設(shè)l₁的方程為y=kx+
∵l₁⊥l₂，∴l(xiāng)₂的方程為y=-
由得x²-6kx-9=0∵△=36k²+36＞0，∴直線l₁與軌跡E交于兩點．
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則x₁+x₂=6k，x₁x₂=-9
∴|MN|=
同理可得：
∴四邊形MRNQ的面積S=|MN|•|QF|+|MN|•|RF|=|MN|（|QF|+|RF|）=≥
當(dāng)且僅當(dāng)k²=，即k=±1時，等號成立．故四邊形MRNQ的面積的最小值為72．
點評：本題考查了消參法求軌跡方程，以及圓錐曲線與均值不等式聯(lián)系求最值．