Question

【題目】已知橢圓C的中心在原點O，焦點在x軸上，橢圓的兩焦點與橢圓短軸的一個端點構成等邊三角形，右焦點到右頂點的距離為1.

（1）求橢圓C的標準方程；

（2）是否存在與橢圓C交于A，B兩點的直線l：，使得成立？若存在，求出實數m的取值范圍；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在；實數m的取值范圍是

【解析】

（1）設橢圓的頂點為P，則，又由，由結合橢圓的定義可得，結合可求橢圓的方程；

（2）存在直線l，使得成立.設直線l的方程為，由得.由此利用根的判別式和韋達定理結合已知條件能求出實數m的取值范圍.

（1）設橢圓的頂點為P，

由兩焦點與橢圓短軸的一個端點構成等邊三角形，

可得，

又右焦點到右頂點的距離為1.

，

，，，

橢圓的方程為：；

（2）存在直線l，使得成立.理由如下：

設直線l的方程為，

由得.

，化簡得.

設，，則

，.

若成立，

即，等價于.

所以.

，

，

，

化簡得.即，

代入中，，

解得.

又由，得，

從而，

解得或.

所以實數m的取值范圍是.