Question

【題目】已知函數 .
（I）若 在 處的切線方程為 ，求 的值；
（II）若 在 上為增函數，求 得取值范圍.

Answer 1

【答案】解：（I）因為 ，又 在 處的切線方程為 ，
所以 所以
（II）因為 在 上為增函數，
所以 在 上恒成立.
即 在 上恒成立，所以有 .
【解析】（1）根據切線的斜率為1，得到f'（2）=1，解之得a=2；從而得到f（x）=x2-2lnx，算出切點坐標為（2，2-2ln2），再代入直線y=x+b，即可求出實數b的值．
（2）根據題意，f'（x）≥0在（1，+∞）上恒成立，由此得到關于x的不等式a≤x2在（1，+∞）上恒成立，再討論x2的取值范圍，即可得到a的取值范圍．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解利用導數研究函數的單調性的相關知識，掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減．