Question

在（1+x）ⁿ的展開式中，已知第3項與第5項的系數相等．
（1）求（x²-

1

x

）ⁿ展開式中的系數最大的項和系數最小的項；
（2）求（x²+x-2）ⁿ展開式中含x²項的系數．

Answer 1

分析：（1）依題意，由

C

2 n

=

C

4 n

，可求得n，利用(x2-

1

x

)6的通項T_r+1=（-1）^r

C

r 6

x^12-3r即可求得其展開式中的系數最大的項和系數最小的項；
（2）利用（x²+x-2）⁶=（x²+x-2）•（x²+x-2）…（x²+x-2）（6個括號相乘），利用組合數的性質即可求得答案．

解答：解：由已知得

C

2 n

=

C

4 n

，即

n(n-1)

2

=

n(n-1)(n-2)(n-3)

4×3×2×1

，解得n=6 …（3分）
（1）∵(x2-

1

x

)6的通項T_r+1=

C

r 6

（x²）^6-r(-

1

x

)r=（-1）^r

C

r 6

x^12-3r，
∴當r=3時，展開式中的系數最小，即T₄=-20x³為展開式中的系數最小的項；
當r=2或r=4時，展開式中的系數最大，即T₃=15x⁶，T₅=15為展開式中的系數最大的項 …（9分）
（2）∵（x²+x-2）⁶=（x²+x-2）•（x²+x-2）•…•（x²+x-2）（6個括號相乘），
要出現x²項，有兩類：
一類是6個括號中有一個括號提供x²項，另5個括號均提供-2，共有

C

1 6

×（-2）⁵=-192個；
另一類是6個括號中有二個括號提供x項，另4個括號均提供-2，共有

C

2 6

×1²×（-2）⁴=240個；
∴（x²+x-2）⁶展開式中含x²項的系數為

C

1 6

×（-2）⁵+

C

2 6

×1²×（-2）⁴=-192+240=48．…（15分）

點評：本題考查二項式系數的性質，著重考查二項展開式的通項公式與組合數的性質，考查分析、轉化與運算能力，屬于中檔題．