Question

（06年江西卷理）（12分）

如圖，橢圓Q：（a>b>0）的右焦點F（c，0），過點F的一動直線m繞點F轉動，并且交橢圓于A、B兩點，P是線段AB的中點

（1）求點P的軌跡H的方程

（2）在Q的方程中，令a²＝1＋cosq＋sinq，b²＝sinq（0<q£ ），確定q的值，使原點距橢圓的右準線l最遠，此時，設l與x軸交點為D，當直線m繞點F轉動到什么位置時，三角形ABD的面積最大？

Answer 1

解析：如圖，（1）設橢圓Q：（a>b>0）

上的點A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），又設P點坐標為P（x，y），則

1°當AB不垂直x軸時，x₁¹x₂，

由（1）－（2）得

b²（x₁－x₂）2x＋a²（y₁－y₂）2y＝0

     

\b²x²＋a²y²－b²cx＝0…………（3）

2°當AB垂直于x軸時，點P即為點F，滿足方程（3）

故所求點P的軌跡方程為：b²x²＋a²y²－b²cx＝0

（2）因為，橢圓  Q右準線l方程是x＝，原點距l

的距離為，由于c²＝a²－b²，a²＝1＋cosq＋sinq，b²＝sinq（0<q£）

則＝＝2sin（＋）

當q＝時，上式達到最大值。此時a²＝2，b²＝1，c＝1，D（2，0），|DF|＝1

設橢圓Q：上的點 A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），三角形ABD的面積

S＝|y₁|＋|y₂|＝|y₁－y₂|

設直線m的方程為x＝ky＋1，代入中，得（2＋k²）y²＋2ky－1＝0

由韋達定理得y₁＋y₂＝，y₁y₂＝，

4S²＝（y₁－y₂）²＝（y₁＋y₂）²－4 y₁y₂＝

令t＝k²＋1³1，得4S²＝，當t＝1，k＝0時取等號。

因此，當直線m繞點F轉到垂直x軸位置時，三角形ABD的面積最大。