Question

（本小題滿分14分）

       平面內與兩定點、（）連線的斜率之積等于非零常數m的點的軌跡，加上、A₂兩點所成的曲線C可以是圓、橢圓或雙曲線。

（Ⅰ）求曲線C的方程，并討論C的形狀與m值的關系；

（Ⅱ）當時，對應的曲線為；對給定的，對應的曲線為，設、是的兩個焦點。試問：在上，是否存在點，使得△的面積。若存在，求的值；若不存在，請說明理由。

Answer 1

本小題主要考查曲線與方程、圓錐曲線等基礎知識，同時考查推理運算的能力，以及分類與整合和數形結合的思想。（滿分14分）

    解：（I）設動點為M，其坐標為，

    當時，由條件可得

即，

又的坐標滿足

故依題意，曲線C的方程為

當曲線C的方程為是焦點在y軸上的橢圓；

當時，曲線C的方程為，C是圓心在原點的圓；

當時，曲線C的方程為，C是焦點在x軸上的橢圓；

當時，曲線C的方程為C是焦點在x軸上的雙曲線。

（II）由（I）知，當m=-1時，C₁的方程為

當時，

C₂的兩個焦點分別為

對于給定的，

C₁上存在點使得的充要條件是

②

①

由①得由②得

當

或時，

存在點N，使S=|m|a²；

當

或時，

不存在滿足條件的點N，

當時，

由，

可得

令，

則由，

從而，

于是由，

可得

綜上可得：

當時，在C₁上，存在點N，使得

當時，在C₁上，存在點N，使得

當時，在C₁上，不存在滿足條件的點N。