Question

（理）設S是整數集Z的非空子集，如果?a，b∈S有ab∈S，則稱S關于數的乘法是封閉的．若T，V是Z的兩個不相交的非空子集，TUV=Z且?a，b，c∈T有abc∈T，?x，y，z∈V有xyz∈V，有結論
①T，V中至少有一個關于乘法是封閉的；
②T，V中至多有一個關于乘法是封閉的；
③T，V中有且只有一個關于乘法是封閉的；  
④T，V中每一個關于乘法都是封閉的．
其中結論恒成立的是

①

．

Answer 1

分析：根據已知，不妨設1∈T，令c=1，易得T關于乘法是封閉的，同理當1∈V時，可得V關于乘法是封閉的，進而可判斷①的真假；令T={奇數}，V={偶數}，可以判斷②③的真假；T=N，V=Z_-，可以判斷④的真假，進而答案答案．

解答：解：因為TUV=Z，故必有1∈T或1∈V，
不妨設1∈T，則令c=1，
依題意對?a，b∈T，有ab∈T，
從而T關于乘法是封閉的；
同理當1∈V時，可得V關于乘法是封閉的；
故①T，V中至少有一個關于乘法是封閉的是恒成立的；
若T={奇數}，V={偶數}，顯然兩者都關于乘法是封閉，故②T，V中至多有一個關于乘法是封閉的及③T，V中有且只有一個關于乘法是封閉的，均不恒成立；
取T=N，則V為所有負整數組成的集合，顯然T關于乘法是封閉的，但V顯然是關于乘法是不封閉的，如（-1）×（-2）=2∉V，故④也不是恒成立的
故答案為：①．

點評：本題以命題的真假判斷為載體考查了分類討論思想，其中正確理解封閉的含義是解答的關鍵．