Question

側棱PA=PD＝，底面ABCD為直角梯形，其中
BC∥AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2,O為AD中點.
（1）求證：PO⊥平面ABCD；
（2）求異面直線PB與CD所成角的余弦值；
（3）線段AD上是否存在點Q，使得它到平面PCD的距離為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

（2）（3）存在點Q滿足題意，此時

（Ⅰ）證明：在△PAD中PA=PD,O為AD中點，所以PO⊥AD,
又側面PAD⊥底面ABCD,平面平面ABCD=AD,

平面PAD，所以PO⊥平面ABCD.  ……3分
(Ⅱ)解  以O為坐標原點，的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向，建立空間直角坐標系O-xyz,依題意，易得
A(0,-1,0),B(1,-1,0),C(1,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1),
所以       …5分
所以異面直線PB與CD所成的角是余弦值為，    ………………7分
(Ⅲ)解  假設存在點Q，使得它到平面PCD的距離為，
由(Ⅱ)知設平面PCD的法向量為n=(x₀,y₀,z₀).
則所以即，
取x₀=1,得平面PCD的一個法向量為n="(1,1,1)."      …………………9分
設由，得解y=-或y=(舍去)，                        …………………11分
此時，所以存在點Q滿足題意，此時。…12分