Question

已知數列a_n=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

，記S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n，用數學歸納法證明S_n=（n+1）a_n-n．

Answer 1

證明：當n=1時，a₁=1
S₁=a₁=1滿足條件
假設當n=k，（k＞1，k∈N）時S_k=（k+1）a_k-k成立
當n=k+1時，
∵a_k=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

k

=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

k

+

1

k+1

-

1

k+1

=ak+1-

1

k+1

則S_k+1=S_k+a_k+1=（k+1）a_k-k+a_k+1=（k+1）（ak+1-

1

k+1

）-k+a_k+1
=（k+1）a_k+1-1-k+a_k+1=（k+2）a_k+1-（1+k）
從而S_n=（n+1）a_n-n成立．
得證．