Question

（本小題滿分13分）
已知拋物線，過點的直線與拋物線交于、兩點，且直線與軸交于點.（1）求證:，，成等比數列；
（2）設，，試問是否為定值，若是，求出此定值；若不是，請說明理由．

Answer 1

（1）見解析；
（2）為定值且定值為

本試題主要是考查了解析幾何與數列、不等式的綜合運用。
（1）先設直線方程，然后利用題目中等比數列的關系得到各自的長度，進而證明。
（2）假設為定值，利用已知中向量的關系式，得到坐標關系，然后利用參數與坐標的關系表示得到證明。
解：(1)設直線的方程為：，
聯立方程可得得: ① ………………………………2分
設，，，則， ②
， …………………………4分
而，∴，
即，、成等比數列…………………………………………………………6分
(2)法1：由，得，
，
即得：，， ………………………………………………………8分
則 ………………………………………………………10分
由(1)中②代入得，故為定值且定值為 ………………………………13分
法2：設直線的方程為：，，，，M(0,2)
聯立方程可得得:………………………………………………8分由，得， ………10分
 即證.   ………………………………13分
法3：設直線的方程為：，，，，M(0,2)
由得：代入有：
，  同理：，
所以 故   ………………………………13分（注：該法可以不聯立直線與拋物線的方程.）