Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的右焦點為F（3，0），過點F的直線交橢圓于A、B兩點．若線段AB的中點坐標為（1，-1），則橢圓的方程為______．

Answer 1

設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則

x12

a2

+

y12

b2

=1，

x22

a2

+

y22

b2

=1，
兩式相減可得，

(x1+x2)(x1-x2)

a2

+

(y1+y2)(y1-y2)

b2

=0，
∵線段AB的中點坐標為（1，-1），
∴

y1-y2

x1-x2

=

b2

a2

，
∵直線的斜率為

0+1

3-1

=

1

2

，
∴

b2

a2

=

1

2

，
∵右焦點為F（3，0），
∴a²-b²=9，
∴a²=18，b²=9，
∴橢圓方程為：

x2

18

+

y2

9

=1．
故答案為：

x2

18

+

y2

9

=1．