Question

（本小題14分）
已知直線Ｌ被兩平行直線：與：所截線段ＡＢ的中點恰在直線上，已知圓．
（Ⅰ）求兩平行直線與的距離；
（Ⅱ）證明直線Ｌ與圓Ｃ恒有兩個交點；
（Ⅲ）求直線Ｌ被圓Ｃ截得的弦長最小時的方程．

Answer 1

(1)
(2)略
(3

（Ⅰ）解：兩平行直線與的距離………3分
（Ⅱ）證明（法一）：設線段AB的中點P的坐標（a，b），由P到L1，、L2的距離相等，得
，
經整理得，，又點P在直線ｘ－4ｙ－１＝０上，所以
解方程組得 即點P的坐標（－3，－1），………7分
所以直線L恒過點P（－３，－１）；……………  8分
將點P（－3，－1）代入圓，可得
所以點P（－3，－1）在圓內，從而過點P的直線Ｌ與圓Ｃ恒有兩個交點．………10分
（Ⅲ）解：當PC與直線Ｌ垂直時，弦長最小，，所以直線Ｌ的斜率為，所以直線Ｌ的方程為：．……………………………14分
（Ⅱ）法二：設線段ＡＢ的中點P必經過直線：，由已知，得
，
所以，所以，得點P（－3，－1），以下同法一