Question

【題目】已知函數.

（1）若，求函數的單調區間；

（2）若函數在區間上不單調，求實數的取值范圍；

（3）求證：或是函數在上有三個不同零點的必要不充分條件.

Answer 1

【答案】（1）函數的單調遞增區間為，沒有單調遞減區間. （2） （3）見解析

【解析】

(1)將參數值k代入解析式，對函數求導，得到導函數大于0，進而得到函數只有增區間沒有減區間；（2）對函數求導，在區間上不單調所以在上有實數解，且無重根，變量分離即方程有解，通過換元得到新函數的單調性，對方程的根進行討論即可;(3)證明：或則函數在上不能有三個不同零點，證明，函數有3個不同零點則或即可.

（1）若k=-1，則，所以

由于△=16-48<0,

所以函數的單調遞增區間為，沒有單調遞減區間.

（2）因

，因在區間上不單調，

所以在上有實數解，且無重根，

由得

令有，記則，

所以在 上，h(t)單調遞減，在 上, h(t)單調遞增，

所以有，于是得

而當時有在上有兩個相等的實根，故舍去

所以.

（3）因為

所以，當△=，即時

函數在R上單調遞增

故在R上不可能有三個不同零點

所以，若在R上有三個不同零點，則必有△，

即是在R上有三個不同零點的必要條件.

而當，時，滿足

但

即此時只有兩個不同零點

同樣，當時，滿足，

但

即此時也只有兩個不同零點

故k<-2或k>7是在R上有三個不同零點的必要不充分條件.