Question

【題目】已知為坐標原點，拋物線：與直線：交于點，兩點，且.

（1）求拋物線的方程；

（2）線段的中點為，過點且斜率為的直線交拋物線于，兩點，若直線，分別與直線交于，兩點，當時，求斜率的值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）根據數量積求出參數的值即可得到所求方程．（2）求出點的坐標為，然后再求出點，的坐標，進而得到直線，的方程，于是得到的坐標，最后根據可求出斜率的值．

（1）由消去整理得，

∵直線與拋物線交于兩點，

∴，解得或（舍去）．

設，，則，

∴，

∵，

∴，解得，符合題意．

∴拋物線方程為：．

（2）由（1）得，

∴，，

∴，

∴，中點為．

設過點斜率為的直線方程為，即，

由消去整理得，

其中，故．

設，，

則，，

直線的方程為，令，得，

∴，

同理得，

∴，

解得，滿足題意．

∴斜率的值為．