Question

已知P為拋物線y²=4x的焦點，過P的直線l與拋物線交與A、B兩點，若點Q在直線l上，且滿足AP•QB=AQ•PB，則點Q總在定直線x=-1上．試猜測如果點P為橢圓的左焦點，過P的直線l與橢圓交與A、B兩點，點Q在直線l上，且滿足AP•QB=AQ•PB，則點Q總在定直線    上．

Answer 1

【答案】分析：由已知中已知P為拋物線y²=4x的焦點，過P的直線l與拋物線交與A，B兩點，若Q在直線l上，且滿足 ，則點Q總在定直線x=-1上．我們易判斷出滿足條件的定直線為拋物線的準線，類比推理，可以推斷出如果P為橢圓 的左焦點，過P的直線l與橢圓交與A，B兩點，若Q在直線l上，且滿足 AP•QB=AQ•PB，則點Q也在橢圓的左準線上，進而可得答案．
解答：解：由已知P為拋物線y²=4x的焦點，
過P的直線l與拋物線交與A，B兩點，
若Q在直線l上，且滿足 AP•QB=AQ•PB，
則點Q總在定直線x=-1上．
故滿足條件的點在拋物線的直線上，
則我們易類比推斷出：
如果P為橢圓 的左焦點，
過P的直線l與橢圓交與A，B兩點，
若Q在直線l上，且滿足 AP•QB=AQ•PB，
則點Q總在橢圓的左準線上，即直線方程為
故答案為：．
點評：類比推理的一般步驟是：（1）找出兩類事物之間的相似性或一致性；（2）用一類事物的性質去推測另一類事物的性質，得出一個明確的命題（猜想）．