Question

（2006•豐臺區一模）函數f （x） 對一切實數x，y均有f（x+y）-f（y）=x（x+2y+1）成立，且f （1）=0．
（Ⅰ）求f （0）的值；
（Ⅱ）求函數f（x）的表達式；
（Ⅲ）當x∈(0，

1

2

)時，f （x）+2＜log_ax恒成立，試求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據函數f （x） 對一切實數x，y均有f（x+y）-f（y）=x（x+2y+1）成立，令x=1，y=0可求出f（0）的值；
（Ⅱ）令 y=0，可得函數f（x）的表達式；
（Ⅲ）將f （x）的解析式代入得x²+x＜log_ax，又x∈(0，

1

2

)，所以x²+x＞0，當a＞1時，log_ax＜0，說明a＞1不合題意，設h(x)=x2+x-logax(0＜x＜

1

2

，0＜a＜1)，即h（x）＜0恒成立然后利用導數研究函數的單調性，求出函數h（x）的最大值，使最大值小于等于0即可．

解答：解：（Ⅰ）∵函數f （x） 對一切實數x，y均有f（x+y）-f（y）=x（x+2y+1）成立
∴令x=1，y=0，f（1+0）-f（0）=1（1+2×0+1）⇒f（0）=-2…（3分）
（Ⅱ）令 y=0，可得  f（x）=x²+x-2…（5分）
（Ⅲ）f （x）+2＜log_ax即  x²+x＜log_ax
又x∈(0，

1

2

)，所以x²+x＞0，
當a＞1時，log_ax＜0，說明a＞1不合題意．…（7分）
設h(x)=x2+x-logax(0＜x＜

1

2

，0＜a＜1)，即h（x）＜0恒成立
因為h′(x)=2x+1-

1

xlna

當0＜x＜

1

2

，0＜a＜1時，h'（x）＞0恒成立…（9分）
所以 h（x）是增函數，有 h(x)＜h(

1

2

)=

3

4

-loga

1

2

…（11分）
只需 

3

4

-loga

1

2

≤0恒成立，解得  a≥2-

4

3

所以實數a的取值范圍是 a≥2-

4

3

…（14分）

點評：本題主要考查了抽象函數及其應用，以及利用導數研究函數的單調性和恒成立問題，同時考查了分類討論的數學思想，屬于中檔題．