Question

已知函數是定義在R上的奇函數，其反函數的圖象過點，若x∈（-1，1）時，不等式恒成立，則實數m的取值范圍為    ．

Answer 1

【答案】分析：根據f（x）是奇函數，則f（0）=0，結合反函數圖象經過的點的坐標，列出關于a，b的方程組，可求出a，b的值，從而求出f（x）的解析式，再將x用y表示，最后交換x、y，即可求出反函數的解析式，從而得對x∈（-1，1）恒成立根據函數在（0，+∞）上的單調性建立不等式，將m分離出來，即m≥1-x對x∈（-1，1）恒成立，從而求出所求．
解答：解：∵f（x）是奇函數，∴，
∴a=b①…（2分）
又其反函數的圖象過點，得原函數過點（1，），
∴②．
由①②得a=b=1．
記．整理得，
∴
上式兩邊取2為底的對數，，交換x、y，
故所求反函數…（8分）
從而對x∈（-1，1）恒成立
∵y=log₂x是（0，+∞）上是增函數，
∴…（11分）
即m≥1-x對x∈（-1，1）恒成立
故m的取值范圍是m≥2…（13分）
故答案為：m≥2．
點評：本題主要考查了反函數，以及反函數與原函數的之間的關系，同時考查了恒成立問題和最值問題，是一道綜合題．