Question

如圖，在平面直角坐標系中，設點（），直線:，點在直線上移動，是線段與軸的交點, 過、分別作直線、，使， .

(1)求動點的軌跡的方程；
（2）在直線上任取一點做曲線的兩條切線，設切點為、，求證：直線恒過一定點；
(3)對（2）求證：當直線的斜率存在時，直線的斜率的倒數成等差數列.

Answer 1

(1)．（2）利用導數法求出直線AB的方程，然后再利用直線橫過定點知識解決.（3）用坐標表示出斜率，然后再利用等差中項的知識證明即可

解析試題分析：(1)依題意知，點是線段的中點，且⊥，
∴是線段的垂直平分線．∴．
故動點的軌跡是以為焦點，為準線的拋物線，其方程為：．
（2）設，兩切點為， 
由得，求導得．
∴兩條切線方程為 ① 
②                 
對于方程①，代入點得，，又
∴整理得：
同理對方程②有
即為方程的兩根.
∴  ③                            
設直線的斜率為，
所以直線的方程為，展開得：
，代入③得：
∴直線恒過定點.                            
(3) 證明：由（2）的結論，設， ， 
且有，  
∴                  
∴
=  
又∵，所以
即直線的斜率倒數成等差數列.  
考點：本題考查了拋物線與導數、數列的綜合考查
點評：解答拋物線綜合題時，應根據其幾何特征熟練的轉化為數量關系（如方程、函數），再結合代數方法解答，這就要學生在解決問題時要充分利用數形結合、設而不求、弦長公式及韋達定理綜合思考，重視對稱思想、函數與方程思想、等價轉化思想的應用