Question

【題目】將邊長為1的正方形AA1O1O（及其內部）繞OO1旋轉一周形成圓柱，如圖，AC長為 π，A1B1長為 ，其中B1與C在平面AA1O1O的同側．

（1）求三棱錐C﹣O1A1B1的體積；
（2）求異面直線B1C與AA1所成的角的大小．

Answer 1

【答案】
（1）

解：連結O1B1，則∠O1A1B1=∠A1O1B1= ，

∴△O1A1B1為正三角形，

∴ = ，

= =

（2）

解：

設點B1在下底面圓周的射影為B，連結BB1，則BB1∥AA1，

∴∠BB1C為直線B1C與AA1所成角（或補角），

BB1=AA1=1，

連結BC、BO、OC，

∠AOB=∠A1O1B1= ， ，∴∠BOC= ，

∴△BOC為正三角形，

∴BC=BO=1，∴tan∠BB1C=45°，

∴直線B1C與AA1所成角大小為45°．

【解析】（1）連結O1B1 ， 推導出△O1A1B1為正三角形，從而 = ，由此能求出三棱錐C﹣O1A1B1的體積．
（2）設點B1在下底面圓周的射影為B，連結BB1 ， 則BB1∥AA1 ， ∠BB1C為直線B1C與AA1所成角（或補角），由此能求出直線B1C與AA1所成角大小．
本題考查三棱錐的體積的求法，考查兩直線所成角的大小的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養．
【考點精析】本題主要考查了異面直線及其所成的角的相關知識點，需要掌握異面直線所成角的求法：1、平移法：在異面直線中的一條直線中選擇一特殊點，作另一條的平行線；2、補形法：把空間圖形補成熟悉的或完整的幾何體，如正方體、平行六面體、長方體等，其目的在于容易發現兩條異面直線間的關系才能正確解答此題．