Question

【題目】已知A、B、C為三個銳角，且A+B+C=π，若向量 =（2sinA﹣2，cosA+sinA）與向量 =（cosA﹣sinA，1+sinA）是共線向量． （Ⅰ）求角A；
（Ⅱ）求函數y=2sin2B+cos 的最大值．

Answer 1

【答案】解：①∵ =（sinA﹣cosA，1+sinA），且 共線， 可得（2﹣2sinA）（1+sinA）﹣（sinA﹣cosA）（cosA+sinA）=0，化簡可得sinA=± ．
又△ABC是銳角三角形，∴sinA= ．
②由A= 得B+C= ，即C= ﹣B，
y=2sin2B+cos
=1﹣cos2B+cos sin2B
=1+sin2Bcos ，
∵ ，∴ ，∴ ＜2B＜π，∴ ，
∴ ．故 ．
因此函數y=2sin2B+cos 的值域為（ ，2]，故函數y的最大值等于2
【解析】（1）由已知 ，利用向量共線的條件及A為銳角整理可得，sinA= ，從而可求角A的值．（2）結合（1）中的條件可把所求函數式化簡得， ，利用輔助角公式可得y=sin（2B﹣ ）+1，結合題中銳角三角形的條件可求B的范圍，進而求出函數的值域，從而得到函數的最大值．
【考點精析】利用兩角和與差的正弦公式和二倍角的余弦公式對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知兩角和與差的正弦公式：；二倍角的余弦公式：．