Question

已知

m

=(

3

，1)，

n

=(cos

x

3

，-sin

x

3

)，記f(x)=2(

m

•

n

)sin

x

3

．
（1）若x∈[0，π]，求函數f（x）的值域；
（2）在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，若f（C）=1，且b²=ac，求sinA的值．

Answer 1

分析：由題意先對f(x)=2(

m

•

n

)sin

x

3

進行化簡變形得到f(x)=2sin(

2

3

x+

π

6

)-1
（1）x∈[0，π]，代入求得相位的取值范圍，再由正弦函數的性質求得值域；
（2）由f（C）=1，及b²=ac，進行化簡整理得出關于sinA的方程，再求出sinA的值

解答：解：f(x)=2

m

n

sin

x

3

=2sin(

2

3

x+

π

6

)-1（3分）
（1）∵x∈[0，π]，
∴

2

3

x+

π

6

∈[

π

6

，

5π

6

]，
所以函數f（x）的值域為[0，1]（5分）
（2）f(C)=2sin(

2

3

C+

π

6

)-1=1，C∈(0，π)，所以C=

π

2

∵b²=ac，
∴c²-a²=ac，
∴sin²A+sinA-1=0（8分）
∴sinA=

5 -1

2

（10分）

點評：本題考查三角恒等變化與化簡求值，解題的關鍵是熟練掌握三角恒等變換公式，對解析式進行化簡，再由正弦函數的性質求值，本題考查了函數與方程的思想及運算變形的能力，是三角函數中有一定綜合性的題．