Question

（2011•重慶三模）光線被曲線反射，等效于被曲線在反射點處的切線反射．已知光線從橢圓的一個焦點出發，被橢圓反射后要回到橢圓的另一個焦點；光線從雙曲線的一個焦點出發被雙曲線反射后的反射光線等效于從另一個焦點發出；如圖，橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)與雙曲線C′：

x2

m2

-

y2

n2

=1(m＞0，n＞0)有公共焦點，現一光線從它們的左焦點出發，在橢圓與雙曲線間連續反射，則光線經過2k（k∈N^*）次反射后回到左焦點所經過的路徑長為（　　）

A．k（a+m）

B．2k（a+m）

C．k（a-m）

D．2k（a-m）

Answer 1

分析：根據題意，可知光線從左焦點出發經過橢圓反射要回到另一個焦點，光線從雙曲線的左焦點出發被雙曲線反射后，反射光線的反向延長線過另一個焦點，從而可計算光線經過2k（k∈N^*）次反射后回到左焦點所經過的路徑長．

解答：解：因為光線被曲線反射，等效于被曲線在反射點處的切線反射．已知光線從橢圓的一個焦點出發，被橢圓反射后要回到橢圓的另一個焦點；光線從雙曲線的一個焦點出發被雙曲線反射后的反射光線等效于從另一個焦點發出
所以，光線從左焦點出發經過橢圓反射要回到另一個焦點，光線從雙曲線的左焦點出發被雙曲線反射后，反射光線的反向延長線過另一個焦點
如圖，AF₂=2m+AF₁，
BF₁+BA+AF₁=2a-AF₂+AF₁=2a-（2m+AF₁）+AF₁=2a-2m
所以光線經過2k（k∈N^*）次反射后回到左焦點所經過的路徑長為2k（a-m）
故選D．

點評：本題以新定義為素材，考查橢圓、雙曲線的定義，考查學生對新定義的理解，理解新定義是關鍵．