Question

（08年朝陽區綜合練習一文）（14分）

設數列的前項和為，對一切，點在函數的圖象上.

（Ⅰ）求的表達式；

（Ⅱ）將數列依次按1項、2項、3項、4項循環地分為（），（，），（，，），（，，，）；（），（，），(，，），（，，，）；（），…，分別計算各個括號內各數之和，設由這些和按原來括號的前后順序構成的數列為，求的值；

（Ⅲ）設為數列的前項積，是否存在實數，使得不等式對一切都成立？若存在，求出的取值范圍；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

解析：（Ⅰ）點在函數上，.     ………1分

當時，.   …………2分

當時，滿足..       …………3分

（Ⅱ）因為（），所以數列依次按1項、2項、3項、4項循環地分為（2），（4，6），（8，10，12），（14，16，18，20）；（22），（24，26），（28，30，32），（34，36，38，40）；（42），…. 每一次循環記為一組．由于每一個循環含有4個括號，  故 是第25組中第4個括號內各數之和．由分組規律知，由各組第4個括號中所有第1個數組成的數列是等差數列，且公差為20. 同理，由各組第4個括號中所有第2個數、所有第3個數、所有第4個數分別組成的數列也都是等差數列，且公差均為20. 故各組第4個括號中各數之和構成等差數列，且公差為80. 注意到第一組中第4個括號內各數之和是68，

所以 ．又=22，所以=2010.………………8分

（Ⅲ）因為，故，

所以．

又對一切都成立，即

對一切都成立．…………9分

設，則只需即可．

由于，…10分

所以，故是單調遞減，于是 ．……12分

令，即 ，

解得，或．

綜上所述，使得所給不等式對一切都成立的實數存在，的取值范圍是

．…………………………… 14分