Question

若函數滿足：對于任意的x₁，x₂∈[0，1]都有|f（x₁）-f（x₂）|≤1恒成立，則a的取值范圍是    ．

Answer 1

【答案】分析：由題意函數滿足：對于任意的x₁，x₂∈[0，1]，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤1恒成立，必有函數滿足其最大值與最小值的差小于等于1，由此不等式解出參數a的范圍即可，故可先求出函數的導數，用導數判斷出最值，求出最大值與最小值的差，得到關于a的不等式，解出a的值．
解答：解：由題意f′（x）=x²-a²
當|a|≥1時，在x∈[0，1]，恒有導數為負，即函數在[0，1]上是減函數，
故最大值為f（0）=0，最小值為f（1）=-a²
故有，解得|a|≤，解可得；
又|a|≥1，則-≤a≤-1或1≤a≤．
當|a|∈[0，1），由導數知函數在[0，a]上減，在[a，1]上增；
故最小值為f（a）=＜0，
又f（0）=0，f（1）=-a²；
若f（0）=0是最大值，此時符合；若f（1）=-a²是最大值，此時也符合，
故對任意的|a|∈[0，1）都有對于任意的x₁，x₂∈[0，1]都有|f（x₁）-f（x₂）|≤1恒成立
綜上得a的取值范圍是、
故答案為：．
點評：此題的關鍵是要分析出|f（x₁）-f（x₂）|≤f（x）_max-f（x）_min≤1，另外還要根據x∈[0，1]對a進行分類討論判斷f′（x）=x²-a²的符號進而可以根據單調性判斷f（x）在[0，1]的最值．