Question

等差數列{a_n}的首項為a₁，公差d=-1，前n項和為S_n，其中a₁∈{-1，1，2}
（I ）若存在n∈N，使S_n=-5成立，求a₁的值；．
（II）是否存在a₁，使S_n＜a_n對任意大于1的正整數n均成立？若存在，求出a₁的值；否則，說明理由．

Answer 1

分析：（I ）由條件得Sn=-

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n2+(a1+

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)n=-5，整理得：n²-（2a₁+1）n-10=0，由于n∈N，所以其判別式必定是完全平方數，又a₁∈{-1，1，2}，一一代入驗證即可．
（II）由S_n＜a_n，代入得-

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n2+(a1+

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)n＜a1+1-n，化簡即可得．

解答：解：（I ）由條件得Sn=-

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n2+(a1+

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)n=-5，整理得：n²-（2a₁+1）n-10=0，
∴△=（2a₁+1）²+40是完全平方數，∵a₁∈{-1，1，2}，
∴a₁=1，此時n=5
（II）由S_n＜a_n，代入得-

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n2+(a1+

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)n＜a1+1-n，∴(n-1)a1＜

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(n-1)(n-2)，∵n＞1，∴a1＜

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(n-2)，∴a₁＜0
故存在a₁=-1，使S_n＜a_n對任意大于1的正整數n均成立．

點評：數列與不等式恒成立問題結合起來，能有效考查學生的邏輯思維能力和靈活應用知識分析解決問題的能力，體現了轉化的思想和分類討論的思想．