Question

如圖，ABCDEF-A₁B₁C₁D₁E₁F₁是底面半徑為1的圓柱的內接正六棱柱（底面是正六邊形，側棱垂直于底面），過FB作圓柱的截面交下底面于C₁E₁，已知．
（1）證明：四邊形BFE₁C₁是平行四邊形；
（2）證明：FB⊥CB₁；
（3）求三棱錐A-A₁BF的體積．

Answer 1

【答案】分析：（1）證明FB∥C₁E₁．FB=C₁E₁，即可證明四邊形BFE₁C₁是平行四邊形．
（2）連接FC，則FC是圓柱上底面的圓的直徑，說明BF⊥BC，證明BF⊥B₁B，推出BF⊥平面B₁BCC₁，然后證明FB⊥CB₁．
（3）連接F₁C₁，求出三棱錐A₁-ABF的高為3，求出三棱錐A₁-ABF的體積，通過三棱錐A₁-ABF的體積等于三棱錐A-A₁BF的體積，求解三棱錐A-A₁BF的體積．
解答：（本小題滿分14分）
證明：（1）因為圓柱的上下底面平行，
且FB、C₁E₁是截面與圓柱上、下底面的交線，
所以FB∥C₁E₁．（1分）
依題意得，正六邊形ABCDEF是圓內接正六邊形，
所以，正六邊形的邊長等于圓的半徑，即AB=AF=1．（（2分） ）
在△ABF中，由正六邊形的性質可知，∠BAF=120°，
所以，，即（（3分） ）
同理可得，所以FB=C₁E₁，故四邊形BFE₁C₁是平行四邊形．（4分） 
（注：本小問的證明方法較多，如有不同證明方法請參照上述證明給分）
（2）連接FC，則FC是圓柱上底面的圓的直徑，∵∠CBF=90°，即BF⊥BC （6分）
又∵B₁B⊥平面ABCDEF，BF?平面ABCDEF，∴BF⊥B₁B                  （7分）
∵B₁B∩BC=B，
∴BF⊥平面B₁BCC₁．（8分）
又∵B₁C?平面B₁BCC₁，
∴FB⊥CB₁．                                      （9分）
（3）連接F₁C₁，則四邊形CFF₁C₁是矩形，且FC=F₁C₁=2，FF₁⊥F₁C₁．
在RT△FF₁C₁中，，
∴三棱錐A₁-ABF的高為3．（11分）
（12分）
∴三棱錐A₁-ABF的體積，（13分）
又三棱錐A₁-ABF的體積等于三棱錐A-A₁BF的體積，
∴三棱錐A-A₁BF的體積等于．（14分）
點評：本題考查棱柱、棱錐、棱臺的體積，余弦定理，空間中直線與直線之間的位置關系，直線與平面垂直的判定，考查空間想象能力，計算能力．