Question

【題目】有如下命題：①函數與的圖象恰有三個交點；②函數與的圖象恰有一個交點；③函數與的圖象恰有兩個交點；④函數與的圖象恰有三個交點，其中真命題為_____

Answer 1

【答案】②③④

【解析】

①構造函數，求出函數的導數，研究函數的導數和單調性，進行判斷即可；

②利用與x的關系進行轉化判斷；

③設函數,利用導數研究其單調性，根據零點存在原理得出零點個數，判斷其真假.

④設函數,利用導數研究其單調性，根據零點存在原理得出零點個數，判斷其真假.

①設，則，即函數為減函數，

∵，

∴函數只有一個零點，即函數與的圖象恰有一個交點，故①錯誤，

②由①知當時，，

當時，，

當時，，

當時，，綜上當時，恒成立，

函數與的圖象恰有一個交點，故②正確，

③設函數，則，

又，所以在上單調遞減.

又，

所以存在，使得

即當時，，函數單調遞增.

當時，，函數單調遞減.

由函數在上單調遞增且，

所以函數在上有且只有一個零點.

由，函數在上單調遞增，則

又，且函數在上單調遞減.

所以在上有且只有一個零點.

即在上有且只有一個零點.

所以有2個零點，即函數與的圖象恰有兩個交點，故③正確.

④設函數,為奇函數，且.

所以只需研究在上的零點個數即可.

則,則，

所以，所以在上單調遞減.

所以當時，，則在上單調遞減.

又，.

所以存在，使得.

即當時，，函數單調遞增.

當時，，函數單調遞減.

，由函數在上單調遞增，則

又，且函數在上單調遞減.

所以在上有且只有一個零點.

即在上有且只有一個零點.

由為奇函數，所以在上有且只有一個零點，且.

所以有3個零點，即函數與的圖象恰有三個交點，故④正確.

故答案為：②③④.