Question

設點P在橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上，直線l的方程為x=-

a2

c

，且點F的坐標為（-c，0），作PQ⊥l于點Q，若P，F，Q三點構成一個等腰直角三角形，則橢圓的離心率e=

 

．

Answer 1

分析：由題意可得 QF=FP=a+

c

a

x₀，且 PQ=

2

 PF，求出x₀=

2 a2c-a3

ac- 2 c2

，|y₀|=-c+

a2

c

=

b2

c

，把P（x₀，y₀ ） 代入橢圓的方程，求出

c

a

 的值．

解答：解：設P（x₀，y₀ ），由題意可得 QF=FP=a+

c

a

x₀，且 PQ=

2

 PF，
∴

2

（a+

c

a

x₀ ）=x₀+

a2

c

，解得 x₀=

2 a2c-a3

ac- 2 c2

，∴|y₀|=-c+

a2

c

=

b2

c

，
把P（x₀，y₀ ） 代入橢圓的方程可得 

( 2 a2c-a3 ac- 2 c2 )

a2

2+

( b2 c )2

b2

=1，解得

c2

a2

=

1

2

，
∴e=

c

a

=

2

2

，
故答案為

2

2

．

點評：本題考查橢圓的標準方程，以及簡單性質的應用，得到 QF=FP=a+

c

a

x₀，且 PQ=

2

 PF，是解題的關鍵．