Question

甲、乙兩校計劃周末組織學生參加敬老活動，甲校每位同學往返車費是5元，每人可為3位老人服務，乙校每位同學往返車費是3元，每人可為5位老人服務．兩校都有學生參加，甲校參加活動的學生比乙校至少多1人，且兩校同學往返總車費不超過45元．如何安排甲、乙兩校參加活動的人數，才能使受到服務的老人最多？受到服務的老人最多是多少？

Answer 1

設甲、乙兩校參加活動的人數分別為x、y…（1分），
受到服務的老人的人數為z=3x+5y…（2分），
依題意，x、y應滿足的約束條件為

x-y≥1 5x+3y≤45 x，y∈N*

…（6分）
可行域為圖中陰影部分中的整點，
畫直線l₀：3x+5y=0，并向右上方平移l₀到l，當l經過可行域的某點，且可行域內其他點都在直線l的、包含直線l₀的同一側時，
這一點的坐標使目標函數取最大值…（7分）
解方程組

x-y=1 5x+3y=45

…（8分），
得

x=6 y=5

…（9分），M（6，5）滿足約束條件，
因此，當x=6，y=5時，z取最大值…（10分）z_max=3×6+5×5=43…（11分）．
答：甲、乙兩校參加活動的人數分別為6和5時，受到服務的老人最多，最多為43人．…（12分）