Question

已知函數f（x）=|2x-1|+2，g（x）=-|x+2|+3．，當x∈R時，f（x）-g（x）≥m+2恒成立，實數m的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點：函數恒成立問題

專題：綜合題,函數的性質及應用

分析：由f（x）=|2x-1|+2，g（x）=-|x+2|+3，知f（x）-g（x）=|2x-1|+|x+2|-1，設h（x）=|2x-1|+|x+2|-1，則h（x）≥

3

2

．由當x∈R時，f（x）-g（x）≥m+2恒成立，知m+2≤

3

2

，由此能求出實數m的取值范圍．

解答： 解：∵f（x）=|2x-1|+2，g（x）=-|x+2|+3，
∴f（x）-g（x）=|2x-1|+|x+2|-1，
設h（x）=|2x-1|+|x+2|-1，
則h（x）=

-3x-2，x≤-2 -x+2，-2＜x＜ 1 2 3x，x≥ 1 2

，
∴h（x）≥

3

2

．
∵當x∈R時，f（x）-g（x）≥m+2恒成立，
∴m+2≤

3

2

，解得m≤-

1

2

，
所以，實數m的取值范圍是（-∞，-

1

2

]．
故答案為：（-∞，-

1

2

]．

點評：本題考查求實數的取值范圍，具體涉及到含絕對值不等式的性質、函數的恒成立問題，綜合性強，難度大，有一定的探索性，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答．