Question

（本小題滿分14分）

        設M是由滿足下列條件的函數構成的集合：“①方程有實數根；

②函數的導數滿足”

   （I）判斷函數是否是集合M中的元素，并說明理由；

   （II）集合M中的元素具有下面的性質：若的定義域為D，則對于任意[m，n]，都存在，使得等式成立。試用這一性質證明：方程只有一個實數根；

   （III）設x₁是方程的實數根，求證：對于定義域中任意的x₂，x₃，當時，有

Answer 1

（本小題滿分14分）

    解：（I）因為，又因為當x=0時，f（0）=0，所以方程f（x）-x=0有實數根0。

    所以函數是的集合M中的元素。………………………………3分

   （II）假設方程f（x）-x=0存在兩個實數根不妨設，根據題意存在數

        使得等式成立。

        因為

        與已知矛盾，所以方程只有一個實數根；…………8分

   （III）不妨設

    又因為為減函數，

所以

所以

    所以

     …………………………14分