Question

已知數列{a_n}是公差不為零的等差數列，a₁=1，且a₃是a₁和a₉的等比中項．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）設數列{a_n}的前n項和為S_n，f(n)=

Sn	(n+18)Sn+1

，試問當n為何值時，f（n）最大？并求出f（n）的最大值．

Answer 1

分析：（1）利用等差數列和等比數列的通項公式即可得出；
（2）由（1）利用等差數列的前n項和公式可得S_n，再利用基本不等式即可得出f（n）．

解答：解：（1）設等差數列{a_n}的公差d≠0，∵a₁=1，且a₃是a₁和a₉的等比中項，∴

a

2 3

=a1a9．
化為（1+2d）²=1×（1+8d），化為d²-d=0，∵d≠0，∴d=1．
∴a_n=1+（n-1）×1=n．
（2）由（1）可得：數列{a_n}的前n項和為S_n=

n(n+1)

2

．
∴f(n)=

Sn

(n+18)Sn+1

=

n(n+1) 2

(n+18)× (n+1)(n+2) 2

=

n

(n+18)(n+2)

=

1

n+ 36 n +20

≤

1

2 36 +20

=

1

32

，當且僅當n=6時取等號．
因此當n=6時，f（n）取得最大值

1

32

．

點評：本題考查了等差數列和等比數列的通項公式、等差數列的前n項和公式、基本不等式，屬于中檔題．