Question

已知函數(shù)f（x）=

1

2

x²-alnx-

1

2

（a∈R，a≠0）．
（1）當(dāng)a=2時，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）對定義域內(nèi)每一個x，總有f（x）≥0，則稱f（x）為“非負函數(shù)”，若f（x）在x∈[1，+∞）上是“非負函數(shù)”，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）把a=2代入曲線方程，求出f（1）的值，求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到f′（1），由點斜式得切線方程；
（2）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)a＜0時得到導(dǎo)函數(shù)在定義域內(nèi)橫大于0，當(dāng)a＞0時，求出導(dǎo)函數(shù)的零點，由導(dǎo)函數(shù)的零點對定義域分段，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)在各區(qū)間段內(nèi)的符號判斷原函數(shù)的單調(diào)性；
（3）由題意知對任意的x∈[1，+∞），f（x）≥0，則只需任意的x∈[1，+∞），f（x）_min≥0．
然后分a＜0，0＜a≤1和a＞1研究原函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）上的最小值，由最小值大于等于0求解實數(shù)a的取值范圍．

解答：解：（1）a=2時，f（x）=

1

2

x2-2lnx-

1

2

，f（1）=0
f′(x)=x-

2

x

，f′（1）=-1
曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程x+y-1=0
（2）f′(x)=x-

a

x

=

x2-a

x

(x＞0)
①當(dāng)a＜0時，f′(x)=

x2-a

x

＞0恒成立，函數(shù)f（x）的遞增區(qū)間為（0，+∞）
②當(dāng)a＞0時，令f′（x）=0，解得x=

a

或x=-

a

x	（ 0， a ）	a	（  a ，+∞）
f′（x）	-		+
f（x）	減		增

所以函數(shù)f（x）的遞增區(qū)間為（

a

，+∞），遞減區(qū)間為（0，

a

）
（3）由題意知對任意的x∈[1，+∞），f（x）≥0，則只需任意的
x∈[1，+∞），f（x）_min≥0．
①當(dāng)a＜0時，f（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)，
所以只需f（1）≥0
而f（1）=

1

2

-aln1-

1

2

=0
所以a＜0滿足題意；
②當(dāng)0＜a≤1時，0＜

a

≤1，f（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)，
所以只需f（1）≥0
而f（1）=

1

2

-aln1-

1

2

=0
所以0＜a≤1滿足題意；
③當(dāng)a＞1時，

a

＞1，f（x）在[1，

a

]上是減函數(shù)，
[

a

，+∞）上是增函數(shù)，
所以只需f（

a

）≥0即可
而f(

a

)＜f(1)=0
從而a＞1不滿足題意；
綜合①②③實數(shù)a的取值范圍為（-∞，0）∪（0，1]．

點評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求曲線上過某點的切線方程，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間以及根據(jù)函數(shù)的增減性得到函數(shù)的最值，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法和分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，關(guān)鍵是掌握不等式恒成立時所取的條件．是中檔題．